Explicación de 2+2=5, el truco matemático más interesante

Pruebas inválidas

El concepto matemático de «prueba inválida», planteos lógicos falaces en los cuales un error de diseño es intencionalmente ubicado como pieza fundamental del desarrollo, por ende haciéndolo imperceptible a simple vista, es conocido desde tiempos inmemorables.

Estas falacias lógicas fueron desarrolladas por vez primera hace miles de años en Grecia, sin embargo, fue en el siglo XVI y XVII en el que tomaron popularidad, ya que eran utilizadas para demostrar que «ni siquiera la más exacta de las ciencias está libre de la corrupción y de la mentira humana». Desde Pitágoras hasta Newton y pasando por Descartes y Fibonacci, todos, en algún momento de sus vidas, pusieron empeño en desarrollar pruebas inválidas.

La más simple de estas contradicciones lógicas, y la que generalmente se utiliza como punto de partida para explicar el concepto, es demostrar que 2 es igual a 1.

a = b

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a – b)(a + b) = b(a – b)

a + b = b

b + b = b

2b = b

2 = 1

Los matemáticos y la búsqueda de 2+2=5

No obstante, hubo una prueba inválida tan curiosa que durante más de dos mil quinientos años algunos de los mejores matemáticos de la historia intentaron demostrar: 2 + 2 = 5. Su origen bordea con la leyenda y remarca que fue en la escuela de los Pitagóricos donde primeramente se demostró la tan famosa e infame ecuación. Sin embargo, estos, al igual que hicieron con la raíz cuadrada de 2, temiendo a desafiar la lógica de la matemática decidieron «taparla» del conocimiento público -otros dicen que simplemente no tenían el dinero para pagarle al escriba-. Sea como sea la ecuación permanecería «dormida» durante poco menos de dos mil años y sería redescubierta por el legendario Fibonacci en el siglo 13. Quien tras reflexionar y estudiar en profundidad los principios Euclidianos dijo: «Es más probable que 2 + 2 esté más cerca de 5 que de 4».

Pintura del matemático Fermat. — Pierre de Fermat.

Durante años Fibonacci intentó demostrarlo de todas las maneras posibles, incluso gracias a esto realizó una de las primeras experiencias científicas rigurosas al estudiar la reproducción en poblaciones de conejos. Tan testarudo fue que prontamente le pusieron el apodo de «Cabeza de ladrillo».

Pasaron más años y un renovado interés en los siglos 17 y 18 llevaría a que Riemann desarrollara la primera operación aritmética que diera como resultado 5 al sumar 2 y 2, trayendo con esto un caótico y candente debate en el mundo matemático. Para colmo de males Gauss salió con una demostración que establecía que 2 + 2 = 3. La confusión fue tal que las instituciones académicas dudaban sobre si seguir la tradición Euclidiana de 2 + 2 = 4 o comenzar a escuchar a los que decían que la suma de 2 y 2 tenía otros valores al punto que, por ejemplo, Kempe demoró 11 años más en dar a la luz su teorema de los 4 colores por temor a estar errado a causa de las dudas que había en el momento sobre la suma de 2 por sí mismo.

Decidido a terminar con la confusión el mismísimo Gottlob Frege desarrolló un teorema demostrando que 2 + 2 era igual a 5, sin embargo el legendario Bertrand Russell prontamente le envió una carta recordándole que hacía unos años, fue él mismo, Frege, quien había demostrado que 2 + 2 era igual a 5. Imposible de resolver la cuestión Frege perdió la fe en la matemática y la abandonó por completo dedicándose a trabajos de oficina.

Cómo se explica que 2+2=5 y dónde está el error

2+2=2+2

(2+2)-5=(2+2)-5

-10-10=-10-10

-20=-20

16-36=25-45

16-36+81/4=25-45+81/4

(a-b) ² = a² -2ab+b ²

16-36+81/4 = (4-9/2) ²

25-45+81/4 = (5-9/2) ²

(4-9/2) ²= (5-9/2) ²

4-9/2 = 5-9/2

4=5-9/2+9/2

4=5

2+2=5

A priori parece confuso, pero en realidad vemos que esta prueba es inválida, ya que en el paso:

(4-9/2) ²= (5-9/2) ²
4-9/2 = 5-9/2

Se eliminaron los cuadrados de manera incorrecta. La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado es un módulo. Correctamente lo anterior debería ser:

(4-9/2) ² = (5-9/2) ²
| 4-9/2 | = | 5-9/2 |
| -0,5 | = | 0,5 |
0,5 = 0,5

Hoy en día gracias a la asistencia de los ordenadores cientos de demostraciones, algunas muy complejas, han surgido demostrando todo tipo de resultados «incoherentes» que años atrás hubieran sido imposibles de imaginar.

Conclusión

Este es un gran ejemplo para demostrar como, un pequeño error o desviación de los métodos de operación estándar, incluso los más simples como en este caso las reglas de aritmética y el álgebra básico, pueden llevar a resultados completamente erróneos.

Dos más dos no es igual a cinco, no obstante, un sutil error de operaciones, el cual, si no estamos atentos es difícil de detectar, puede llegar a esta conclusión errónea. Las matemáticas son una ciencia exacta, por lo que el rigor de sus leyes y validez de las operaciones son un factor clave para llegar a buen puerto.

Si bien invalidas para fines prácticos y concretos, las denominadas pruebas inválidas son, en efecto, válidas para la enseñanza, debido a que nos permiten demostrar conceptos y métodos de aplicación desde una perspectiva distinta.